Outil mécanique · oscillateurs et horlogerie
Quatre oscillateurs simulés en temps réel par intégration numérique (Runge-Kutta d'ordre 4) : le pendule simple aux grands angles, amorti ou forcé ; le pendule double et son comportement chaotique ; deux pendules couplés qui s'échangent leur énergie ; et une horloge à balancier, avec son échappement à ancre, ses rouages et le calcul de son avance ou de son retard. Un dernier onglet compare les méthodes numériques : Euler, Heun, Verlet, Runge-Kutta, Simpson, pivot de Gauss.
pendule réelapproximation petits angles
Portrait de phase : vitesse angulaire selon l'angle
énergie potentielleénergie cinétiquetotal
Période selon l'amplitude (exacte, et formule des petits angles)
Résonance : amplitude du régime permanent selon la pulsation du forçage
Écart entre le pendule de référence et le premier fantôme (échelle logarithmique)
Dérive de l'énergie totale (erreur numérique, sans frottement)
θ₁θ₂
énergie du pendule 1énergie du pendule 2
Les méthodes comparées ici sont celles de mon cours de physique numérique : Euler, Heun et Runge-Kutta 4 pour les équations différentielles, rectangles, trapèzes et Simpson pour les intégrales, pivot de Gauss et moindres carrés pour les systèmes linéaires. Elles sont appliquées au même pendule.
Erreur relative sur l'énergie au cours du temps (limitée à ±20 %)
Ordre de convergence : erreur sur θ à t = 2 s selon le pas h (log-log)
T = 4·√(L/g)·∫₀^{π/2} dφ / √(1 − k²·sin²φ), avec k = sin(θ₀/2). Erreur de chaque méthode selon le nombre de subdivisions n, comparée à la valeur de référence (moyenne arithmético-géométrique).
Ici les trapèzes battent Simpson : la fonction intégrée est périodique et régulière, et pour ce type de fonction la méthode des trapèzes converge beaucoup plus vite que ne le prévoit son ordre.
Les périodes sont mesurées sur la simulation (RK4) pour des amplitudes de 5° à 60°, puis ajustées par T/T₀ − 1 = a·θ₀² + b·θ₀⁴. Les équations normales (2 × 2) sont résolues par le pivot de Gauss avec pivot partiel.
mesures (simulation)ajustement
Méthode : les équations du mouvement sont intégrées avec la méthode de Runge-Kutta d'ordre 4, à pas fixe et petit (1 ms pour le pendule double). Sans frottement, l'énergie totale doit rester constante : sa dérive affichée mesure l'erreur numérique. La période aux grands angles est comparée à la valeur exacte, 4·√(L/g)·K(sin(θ₀/2)), où K est l'intégrale elliptique complète de première espèce.
Modèles : masses ponctuelles, tiges rigides sans masse, frottement visqueux proportionnel à la vitesse. Pour l'horloge, l'échappement rend à chaque alternance l'énergie perdue (l'amplitude reste constante), et la marche est calculée pour une horloge réglée à 20 °C au lieu de réglage. Les coefficients de dilatation sont des valeurs usuelles.